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MBA备考:数学的排列组合与集合的关系

2016-09-28 17:24| 太奇MBA网

MBA备考:数学的排列组合与集合的关系

      2017年考研复习已经进入了冲刺复习阶段,太|奇MBA老师提醒考生,复习固然是考研中很重要的一环,但是考研信息的关注也十分的重要,在我们专注于考研复习的同时千万不要忽略掉考研相关信息资料的发布。MBA综合中数学的部分有一部分是考察排列组合与集合的关系 求排列组合就是求集合元素的个数。下面告诉MBA同学们用集合的观点去解决排列组合的问题,思路会更清晰。

  一、集合元素的个数以最常见的全排列为例,用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,则每一个九位数都是集合A的一个元素,集合A中共有9!个元素。以下我们用S(A)表示集合A的元素个数。

  二、集合的对应关系两个集合之间存在对应关系(以前学的函数的概念就是集合的对应关系)。如果集合A与集合B存在一一对应的关系,则S(A)=S(B)如果集合A中每个元素对应集合B中N个元素,则集合B的元素个数是A的N倍(严格的定义是把集合B分为若干个子集,各子集没有共同元素,且每个子集元素个数为N,这时子集成为集合B的元素,而A的元素与B的子集有一一对应的关系,则S(B)=S(A)*N

  例1:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合,S(A)=9!集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合A分为子集的集合,规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数,等于剩余的3个数的全排列,即3!这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系,则 S(A)=S(B)*3! S(B)=9!/3!这就是我们用以前的方法求出的P(9,6)

  例2:从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?设不同选法构成的集合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集,则每个子集都是某6个数的全排列,即每个子集有6!个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系,则 S(B)=S(C)*6! S(C)=9!/3!/6!这就是我们用以前的方法求出的C(9,6) 以上都是简单的例子,似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源,也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到,在我们平时数物品的数量时,说1,2,3,4,5,一共有5个,这时我们就是在把物品的集合与集合(1,2,3,4,5)建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合(1,2,3,4,5)的元素个数相等,所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题。

  例3:9个人坐成一圈,问不同坐法有多少种? 9个人排成一排,不同排法有9!种,对应集合为前面的集合A 9个人坐成一圈的不同之处在于,没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点,把圈展开成直线,在集合A中都对应不同元素,但在集合D中相当于同一种坐法,所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素,所以S(D)=9!/9 我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人,再排其他人,结果为8!。这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系,使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系。

  例4:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,但要求1排在2前面,求符合要求的九位数的个数。集合A为9个数的全排列,把集合A分为两个集合B、C,集合B中1排在2前面,集合C中1排在2后面。则S(B)+S(C)=S(A)在集合B、C之间建立以下对应关系:集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字,对应集合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S(B)=S(C)=9!/2 以同样的思路可解出下题:从1、2、3…,9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数,且要求a>b>c,问这样的函数共有多少个?

  例5:M个球装入N个盒子的不同装法,盒子按顺序排列。这题我们已经讨论过了,我再用更形象的方法说说。假设我们把M个球用细线连成一排,再用N-1把刀去砍断细线,就可以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式(如两把刀排在一起,就表示相应的盒子里球数为0)。所以方法总数为C(M+N-1,N-1) 例6:7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有多少种排法.。
 解:甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分,设四部分人数分别为X1,X2,X3,X4,其中X1,X4》=0,X2,X3》0 先把其余4人看作一样,则不同排法为方程 X1+X2+X3+X4=4的解的个数,令X2=Y2+1,X3=Y3+1 化为求X1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数,这与把2个球装入4个盒子的方法一一对应,个数为C(5,3)=10 由于其余四人是不同的人,所以以上每种排法都对应4个人的全排列4!,所以不同排法共有C(5,3)*4!=240种。集合的方法运用熟练后,不需要每次具体设定集合,但头脑中要有清晰的对应关系。

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